Alternating Harmonic Series
The alternating harmonic series is defined as
$$A_n = \sum_{k = 0}^n [-1]^k \frac{1}{k} \,.$$
If infinite reordering is allowed, the limiting value for $n \to \infty$ can be arbitrarily chosen. This can be shown with the following program. It will reorder the terms of this series in a way that the series converges to the limiting value that you specify beforehand. This is no mathematical proof, just a neat illustration.
Here I chose the limiting value 0.3. You can see which terms it adds and subtracts, what the current value and error are:
$ ./grenzwert Gewünschter Grenzwert: 0.3 + 1/ 1, aktuell: +1.000000, Fehler: +0.700000 - 1/ 2, aktuell: +0.500000, Fehler: +0.200000 - 1/ 4, aktuell: +0.250000, Fehler: -0.050000 + 1/ 3, aktuell: +0.583333, Fehler: +0.283333 - 1/ 6, aktuell: +0.416667, Fehler: +0.116667 - 1/ 8, aktuell: +0.291667, Fehler: -0.008333 + 1/ 5, aktuell: +0.491667, Fehler: +0.191667 - 1/ 10, aktuell: +0.391667, Fehler: +0.091667 - 1/ 12, aktuell: +0.308333, Fehler: +0.008333 - 1/ 14, aktuell: +0.236905, Fehler: -0.063095 + 1/ 7, aktuell: +0.379762, Fehler: +0.079762 - 1/ 16, aktuell: +0.317262, Fehler: +0.017262 - 1/ 18, aktuell: +0.261706, Fehler: -0.038294 + 1/ 9, aktuell: +0.372817, Fehler: +0.072817 - 1/ 20, aktuell: +0.322817, Fehler: +0.022817 - 1/ 22, aktuell: +0.277363, Fehler: -0.022637 + 1/ 11, aktuell: +0.368272, Fehler: +0.068272 - 1/ 24, aktuell: +0.326605, Fehler: +0.026605 - 1/ 26, aktuell: +0.288144, Fehler: -0.011856 + 1/ 13, aktuell: +0.365067, Fehler: +0.065067 - 1/ 28, aktuell: +0.329353, Fehler: +0.029353 - 1/ 30, aktuell: +0.296019, Fehler: -0.003981